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1962年提出了電磁流量計權重函數理論，較好地解釋了電極所在平面上不同點的液體流速對傳感器輸出信號的貢獻。在此后的電磁流量計研究過程中，研究者依據權重函數理論對電磁流量計技術進行了深入的研究，如SmythCC等人采用復變函數映射和Green定律求出圓管和矩形管下不同電極電磁流量計的權重函數和輸出信號，O’Sullivan和Al-KhazrajitYA等人對多電極和大電極電磁流量計權重函數進行了相應的研究。
現有研究資料表明，電磁流量計權重函數的研究前提是假設在滿管狀態下管內流速呈軸對稱分布，而對用于非滿管測量的電磁流量計權重函數還沒有作較為完整的理論研究。本文采用有限元數值分析方法，對長弧形電極非滿管電磁流量傳感器的權重函數進行了研究，給出了不同液位下的權重函數分布圖譜，從而為非滿管電磁流量傳感器結構的優化設計及標定提供了理論依據。
1 權重函數有限元數值計算
1.1 權重函數求解算法
長筒式電磁流量計物理模型如圖1所示。
由圖1可知，被測流體沿流量計測量管的Z軸方向流動，電磁流量計勵磁系統產生磁場。在流量計測量管內壁裝有電極a和電極b，用于測量流體作切割磁力線產生的感應電勢。
ShercliffJA首先對普通長筒式電磁流量計進行了系統的分析，提出了權重函數理論。Bevir于1970年對權重函數作了進一步闡述，在相應的假設條件下，給出了電磁流量測量基本方程的積分形式，即：
式中：τ為所有流動的流體空間體積；（Ua－Ub）為電磁流量傳感器測量電壓；v為管內流體的流速；B為磁場強度；W為權重函數。
W的計算式為：
W=Bj （2）
式中：j為虛電流密度，它是Bevir引入的一個重要概念，其值由電磁流量傳感器的電極結構形式和測量管內壁的電邊界條件決定。
j表示的物理意義是：如果假定流體為靜止不動，同時有單位電流從流量計正電極流入被測流體并從負電極流出，由于這種電流實際不存在，故稱為虛電流。虛電流密度j和磁場強度B可進一步用勢函數來表示，即：
j=-ÑG（3）
B=-ÑF（4）
W可表示為：
式中：G和F為引入的標量勢函數。
由于在傳感器測量管內只有被測流體，沒有電源和磁源，則在非滿管傳感器被測流體截面內勢函數滿足Laplace方程，即：
權重函數由勢函數G和F決定，故求解權重函數變成求解勢函數G和F的邊值問題。根據給定的邊值條件，求解式（6）可得勢函數G和F的分布，再根據G和F得到虛電流密度j和磁場B的分布，從而求得權重函數W。
如果流速為軸向直線流（沿Z軸），則根據式（2）可得：
式中：jX、jY和BX、BY分別為X軸方向和Y軸方向的虛電流密度和磁場強度分布。
若電磁流量計測量管內磁場方向沿X軸方向，且沿Y軸方向的磁場BY=0，則權重函數可以表示為：
同樣地，如果磁場方向沿Y軸方向，且沿X軸方向的磁場BX=0，則權重函數可以表示為：
因此，根據電磁流量計測量管內虛電流和磁場強度即可求得權重函數。
1.2 權重函數有限元數值求解
在一定的傳感器結構下，測量管內的虛電流密度和磁場強度的分布可通過有限元數值分析方法求取，從而實現數值分析方法求取權重函數。若勵磁系統產生的磁場在傳感器測量管內呈均勻分布，且磁場方向沿X軸方向，由式（8）可知WZ∝jY，則通過求解虛電流密度分布即可得到傳感器權重函數。以普通的長筒電磁流量計為例，利用ANSYS有限方法求解權重函數的過程和結果如下。
①有限元求解二維模型的建立
模型建立步驟包括設置求解區域、定義求解單元類型、材料特性和初始參數設置等。在此，將傳感器測量管半徑設置為50cm、點電極直徑設置為5mm、電單元類型選擇PLANE230，電極選擇不銹鋼材料、電阻率設置為1.75×10-8Ω·m、液體電阻率設置為1.8×10-3Ω·m。
②有限元求解
有限元求解包括網格劃分、施加邊界條件和載荷、求解器設置等。采用自由網格劃分網格，得到傳感器求解域的網格模型如圖2所示。
圖2 傳感器網格模型
求解類型選擇穩態分析，求解器類型選擇波前解算器。邊界條件設置如下：測量管為絕緣管壁，因而管壁處有∂G/∂n=0，無電荷泄漏；電極為導電體，其表面電位為等勢電位。
③結果數據輸出及顯示
對求解得到的虛電流密度數進行數據分析處理，*終得到傳感器權重函數。采用有限元計算得到的長筒式電磁流量傳感器的權重函數數據分布和通過解析法得到的權重函數數據分布分別。
采用有限元數值計算得到的長筒式電磁流量計權重函數與采用解析法得到的權重函數數據非常接近，兩者之間的數據偏差與網格密度和邊界條件設置等因素有關。上述分析結果也證明了采用有限元計算電磁流量計權重函數是高效、可行的研究方法，它為優化非滿管電磁流量傳感器結構提供了理論依據。
2 非滿管電磁流量傳感器
2.1 非滿管電磁流量傳感器結構
本文設計了一種具有長弧形電極的非滿管電磁流量傳感器。
非滿管電磁流量傳感器測量管壁上設有一對長弧形電極，作為流速和液位信號的測量電極；傳感器底部設有一對激勵電極，用于施加液位測量的電壓激勵信號。傳感器對非滿管內的液體流速和液位實行分時測量，得到非滿管內流體的流速和液位高度值。根據測得的流速和液位值，可計算得到非滿管內流體的體積流量，從而實現對非滿管流量的測量功能。
2.2 權重函數有限元計算
權重函數反映了管內液體介質單元在磁場下運動時產生的感應電勢對電磁流量傳感器流量信號貢獻能力的大小，即電磁流量傳感器測量信號是所有介質單元按不同權重數對傳感器貢獻的總和。當非滿管內液體介質區域發生變化，即管內充滿度變化時，傳感器權重函數將隨之改變。
平均權重函數的計算公式為：
根據所定義的平均權重函數計算公式，求得長弧形電極非滿管電磁流量傳感器在不同充滿度下的平均權重函數變化如圖4所示。
為研究長弧形電極非滿管電磁流量傳感器流速測量特性，需要計算在不同液體充滿度條件下的傳感器權重函數。在此，取充滿度α在0.1～1.0之間的10個樣本，在均勻磁場的條件下，利用有限元方法對長弧形電極非滿管電磁流量傳感器權重函數進行計算，在不同充滿度下，所得到的非管電磁流量傳感器權重函數分布如圖5所示。
本文采用有限元數值分析方法，對長弧形電極非滿管電磁流量計權重函數進行分析計算，得出了不同充滿度下非滿管傳感器權重函數值。計算結果表明，非滿管電磁流量傳感器權重函數受管內液位變化的影響。權重函數隨液位變化使得傳感器在進行非滿管流體流速測量時，傳感器的輸出信號不僅和流速有關，而且還和液位有關。因此，非滿管傳感器流速測量的標定系數將與液位呈復雜函數關系，不再為常值。這一結論為非滿管電磁流量傳感器的結構設計及傳感器標定提供了理論指導。
